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遼寧遼陽市2019屆高三數學上學期期末試題(理科附解析)

時間:2019-03-10 作者: 試題來源:網絡

遼寧遼陽市2019屆高三數學上學期期末試題(理科附解析)

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章來源 蓮山 課件 w w
w.5 Y k J.coM

遼陽市2019屆高三上學期期末考試數學(理)試題
一、選擇題(本大題共12小題,共60.0分)
1.    
A.      B.      C.      D.  
【答案】A
【解析】解: .
故選:A.
直接由復數代數形式的乘除運算化簡得答案.
本題考查復數代數形式的乘除運算,是基礎題.

2.    設集合 , ,則 的元素個數為
A. 3    B. 4    C. 5    D. 6
【答案】C
【解析】解: 集合 ,
 ,
 6,7,8, ,
 中的元素個數為5.
故選:C.
先分別求出集合A和B,再求出 ,由此能求出結果.
本題考查交集的求法,考查交集定義、不等式性質等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.

3.    雙曲線 的焦距為
A.      B. 4    C.      D. 12
【答案】C
【解析】解:根據題意,雙曲線 的標準方程為 ,
其中 ,
則 ,
其焦距 ;
故選:C.
根據題意,將雙曲線的方程變形為標準方程,分析可得a、b的值,計算可得c的值,由焦距公式計算可得答案.
本題考查雙曲線的標準方程,注意將雙曲線的方程變形為標準方程.

4.    設x,y滿足約束條件 ,目標函數 ,則
A. z的最大值為3    B. z的最大值為2    C. z的最小值為3    D. z的最小值為2
【答案】D
【解析】解:由 作出可行域如圖,
 
聯立 ,解得 ,
化目標函數 為 ,由圖可知,當直線 過A時,
直線在y軸上的截距最小,z有最小值為 .
故選:D.
由約束條件作出可行域,化目標函數為直線方程的斜截式,數形結合得到最優解,把最優解的坐標代入目標函數得答案.
本題考查簡單的線性規劃,考查數形結合的解題思想方法,是中檔題.

5.    已知函數 與 的部分圖象如圖所示,則
A.  ,
B.  ,
C.  ,
D.  ,


【答案】B
【解析】解:由圖象可知, , ,
 , ,
又 ,
 ,
故選:B.
結合圖象可知, , ,然后再由周期公式即可求解
本題主要考查了利用函數的圖象求解函數解析式中的參數,屬于基礎試題.

6.     的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知 , , ,則
A.      B.      C.      D.  
【答案】D
【解析】解: , , ,
 ,
 .
故選:D.
由已知利用正弦定理可求 ,根據余弦定理可求 的值.
本題主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的綜合應用,考查了轉化思想,屬于基礎題.

7.    已知 為定義在 上的奇函數,當 時, ,則 的值域為
A.      B.  
C.      D.  
【答案】A
【解析】解:根據題意,當 時, ,則 ,
又由函數 為定義在 上的奇函數,則當 時,有 ,
則函數的值域為 ;
故選:A.
根據題意,由函數在 時的解析式,結合基本不等式的性質分析可得 ,結合函數的奇偶性分析可得答案.
本題考查函數的奇偶性的性質以及應用、函數的值域計算,涉及基本不等式的應用,屬于基礎題.

8.    正三棱錐 的側棱兩兩垂直,D,E分別為棱PA,BC的中點,則異面直線PC與DE所成角的余弦值為
A.      B.      C.      D.  
【答案】D
【解析】解:如圖,
 
設 ,以A為坐標原點,分別以AB,AC,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,
則 0, , 0, , 2, , 1, ,
 , ,
則 .
 異面直線PC與DE所成角的余弦值為 .
故選:D.
設 ,以A為坐標原點,分別以AB,AC,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,求出 的坐標,由數量積求夾角公式可得異面直線PC與DE所成角的余弦值.
本題考查異面直線及其所成角,訓練了利用空間向量求解空間角,是基礎題.

9.     展開式中 的系數為
A. 1    B.      C. 31    D.  
【答案】B
【解析】解: 展開中第 項為 ,其 的系數,常數項, 的系數分別為 , , ,
故 展開式中 的系數為 ,
故選:B.
利用通項公式可得: 展開中第 項為 ,其 的系數,常數項, 的系數分別為 , , ,進而得出答案.
本題考查了二項式定理的通項公式,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎題.

10.    設 , ,則
A.  且     B.  且
C.  且     D.  且
【答案】B
【解析】解: ;
 ;
又 ;
即 , ;
 , .
故選:B.
容易得出 , ,即得出 , ,從而得出 , .
考查對數函數的單調性,以及增函數的定義.

11.    一批排球中正品有m個,次品有n個, ,從這批排球中每次隨機取一個,有放回地抽取10次,X表示抽到的次品個數若 ,從這批排球中隨機取兩個,則至少有一個正品的概率
A.      B.      C.      D.  
【答案】B
【解析】解:由題意知,隨機變量 ,
則方差 ,
又 ,則 ,
 解得 ,
 所求的概率為 .
故選:B.
由題意知隨機變量 ,根據方差DX求得n的值,再計算所求的概率值.
本題考查了離散型隨機變量的方差計算問題,是基礎題.

12.    已知函數 ,在 上的值域為 ,若 的最小值與最大值分別為 , ,則
A.      B.      C.      D.  
【答案】D
【解析】解:函數 ,當 時, ,
 ,令 ,可得 ,
當 時, 取得極小值為: 又 ,可得 的圖象如圖:
由 ,可得 ;
由 ,可得 故 ;
 .
則 .
故選:D.
利用分段函數,求出函數的導數,得到函數的極值,利用數形結合轉化求解即可.
本題考查函數與方程的應用,考查轉化思想以及計算能力,數形結合的應用,考查計算能力.

二、填空題(本大題共4小題,共20.0分)
13.    已知向量 , 的夾角為 ,且 , ,則 ______.
【答案】
【解析】解:由向量的數量積公式得:
 ,
故答案為:
由向量的數量積公式: 運算即可.
本題考查了平面向量數量積的性質及其運算,屬簡單題.

14.    若 ,則 ______.
【答案】7
【解析】解: ,
 ,
 .
故答案為:7.
由已知利用倍角公式求出 ,再由兩角和的正切求解.
本題考查三角函數的化簡求值,考查倍角公式及兩角和的正切,是基礎題.

15.    若橢圓C: 上存在一點P,使得 ,其中 , 分別是C的左、右焦點,則C的離心率的取值范圍為______.
【答案】
【解析】解:橢圓C: 上存在一點P,使得 ,其中 , 分別是C的左、右焦點,
 ,
可得: ,
解得 .
所以橢圓的離心率為: .
故答案為: .
利用已知條件,通過橢圓的定義,列出不等式求解橢圓的離心率即可.
本題考查橢圓的簡單性質的應用,是基本知識的考查.

16.    設 為一個圓柱上底面的中心,A為該圓柱下底面圓周上一點,這兩個底面圓周上的每個點都在球O的表面上 若兩個底面的面積之和為 , 與底面所成角為 ,則球O的表面積為________.
【答案】
【解析】解:如圖,
 
設該圓柱底面半徑為r,高為h,則 ,
 ,解得 , ,
則球O的半徑 ,
故球O的表面積為 .
故答案為: .
由題意畫出圖形,設該圓柱底面半徑為r,高為h,由圓柱的底面積求得圓柱底面半徑,再由 與底面所成角為 求得圓柱的高,進一步求出球的半徑得答案.
本題考查球內接旋轉體及其表面積,考查數形結合的解題思想方法,是基礎題.

三、解答題(本大題共7小題)
17.    設 為等差數列 的前n項和, , .
 求 的通項公式;
 若 , , 成等比數列,求 .
【答案】解: 為等差數列 的前n項和, , .
 ,
解得 , ,
 .
 由 知, .
 , , 成等比數列, ,
即 ,解得 ,
 .
【解析】 由等差數列 的前n項和公式和通項公式,列出方程組,求出首項和公差,由此能求出 的通項公式.
 推導出 由 , , 成等比數列,得 ,從而求出 ,由此能求出 .
本題考查等差數列的通項公式、前n項和的求法及應用,考查等差數列、等比數列的性質等基礎知識,考查推理能力與計算能力,屬于基礎題.

18.    如圖,在三棱錐 中, 平面ABC, ,且 .
 證明:平面 平面PAC;
 設棱AB,BC的中點分別為E,D,求平面PAC與平面PDE所成銳二面角的余弦值.




【答案】證明: 平面ABC, 平面ABC,
 ,
 , , 平面PAC,
 平面PBC, 平面 平面PAC.
解: 以C為坐標原點,建立空間直角坐標系,如圖,
令 ,則 2, , 0, , 1, ,
則 1, , ,
設平面PDE的法向量為 y, ,
則 ,取 ,得 0, ,
平面PAC的一個法向量 0, ,
則 .
 平面PAC與平面PDE所成銳二面角的余弦值為 .
【解析】 推導出 , ,從而 平面PAC,由此能證明平面 平面PAC.
 以C為坐標原點,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出平面PAC與平面PDE所成銳二面角的余弦值.
本題考查面面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識,考查運算求解能力,考查數形結合思想,是中檔題.

19.    在直角坐標系xOy中直線 與拋物線C: 交于A,B兩點,且 .
 求C的方程;
 若D為直線 外一點,且 的外心M在C上,求M的坐標.
【答案】解: 設 , ,聯立 ,可得 ,
則 , ,
從而 ,
 ,
 ,解得 ,
故C的方程為 ,
 設線段AB的中點 ,
由 可知 , ,
則線段AB的中垂線方程為 ,即 ,
聯立 ,解得 或 ,
M的坐標為 或 .
【解析】 聯立方程組,根據韋達定理和向量的數量積即可求出,
 先求出線段AB的中垂線方程為 ,再聯立方程組,解得即可.
本題考查了直線和拋物線的位置關系,考查了轉化能力和運算能力,屬于中檔題

20.    某工廠共有男女員工500人,現從中抽取100位員工對他們每月完成合格產品的件數統計如下:
每月完成合格產品的件數 單位:百件
                    
頻數    10    45    35    6    4
男員工人數    7    23    18    1    1
 其中每月完成合格產品的件數不少于3200件的員工被評為“生產能手”由以上統計數據填寫下面 列聯表,并判斷是否有 的把握認為“生產能手”與性別有關?
    非“生產能手”    “生產能手”    合計
男員工            
女員工            
合計            
 為提高員工勞動的積極性,工廠實行累進計件工資制:規定每月完成合格產品的件數在定額2600件以內的,計件單價為1元;超出 件的部分,累進計件單價為 元;超出 件的部分,累進計件單價為 元;超出400件以上的部分,累進計件單價為 元,將這4段中各段的頻率視為相應的概率,在該廠男員工中隨機選取1人,女員工中隨機選取2人進行工資調查,沒實得計件工資 實得計件工資 定額計件工資 超定額計件工資 不少于3100元的人數為Z,求Z的分布列和數學期望.
附: ,
               
k              
【答案】解: 列聯表:
    非“生產能手”    “生產能手”    合計
男員工    48    2    50
女員工    42    8    50
合計    90    10     100
 .
 有 的把握認為“生產能手”與性別有關.
 當員工每月完成合格產品的件數為3000時,實得計件工資為 元.
從已知可得男員工實得計件工資不少于3100元的概率 ,女員工實得計件工資不少于3100元的概率 .
在該廠男員工中隨機選取1人,女員工中隨機選取2人進行工資調查,實得計件工資不少于3100元的人數為 ,1,2,3,
 , .
 ,
 .
 的分布列:
Z     0     1     2     3
 P      
 
 
 
 
【解析】 求得 即可判定有 的把握認為“生產能手”與性別有關.
 可計算得當員工每月完成合格產品的件數為3000時,實得計件工資為3100元 從已知可得男員工實得計件工資不少于3100元的概率 ,女員工實得計件工資不少于3100元的概率 可得 ,1,2,3,計算相應的概率即可.
本題考查了概率計算,隨機變量的分布列、期望值,獨立性檢驗,屬于中檔題.

21.    已知函數 .
 當 時,求 的單調遞增區間;
 證明:當 時, 有兩個零點;
 若 ,函數 在 處取得最小值,證明: .
【答案】解: ,
當 時,由 ,解得: 或 ,
故 在 , 遞增;
 證明:當 時, 在 遞增,在 遞減,
則 ,
 , ,且
 或 , , ,
故 有2個零點;
 證明: ,
 ,
設 ,
 ,
故 在 遞增,
又 , ,
故 , ,
當 時, ,當 時, ,
故 且 ,
 ,
 , ,
故 .
【解析】 求出函數的導數,解關于導函數的不等式,求出函數的遞增區間即可;
 根據函數的單調性求出 的最小值,求出函數的零點即可;
 求出 的解析式,求出函數的導數,結合函數的單調性證明即可.
本題考查了函數的單調性,最值問題,考查導數的應用以及分類討論思想,轉化思想,是一道綜合題.

22.    在直角坐標系xOy中,直線l的參數方程為 為參數 ,曲線C的參數方程為 為參數 .
 求l和C的直角坐標方程;
 討論l和C的位置關系.
【答案】解: 直線l的參數方程為 為參數 ,
 直線l的直角坐標方程為 .
 曲線C的參數方程為 為參數 ,
 曲線C的直角坐標方程為 .
 曲線C是以 為圓心,1為半徑的圓,
圓心 到直線l的距離 ,
當 時, ,l和C相切;
當 時, ,l和C相交;
當 或 時, ,l和C相離.
【解析】 由直線l的參數方程能求出直線l的直角坐標方程;由曲線C的參數方程能求出曲線C的直角坐標方程.
 曲線C是以 為圓心,1為半徑的圓,圓心 到直線l的距離 ,由此利用分類討論思想能判斷l和C的位置關系.
本題考查曲線的直角坐標方程的求法,考查直線與圓的位置關系的判斷,考查直角坐標方程、參數方程的互化等基礎知識,考查運算求解能力,是中檔題.

23.    設函數 .
 當 時,求不等式 的解集;
 若 , ,求a的取值范圍.
【答案】解: 當 時, ,
故不等式 的解集為 .
 ,
 ,
則 ,解得 ,
故a的取值范圍為 .
【解析】 求出a的值,求出 的分段函數的形式,求出不等式的解集即可;
 求出 的最小值,得到關于a的不等式,解出即可.
本題考查了解絕對值不等式問題,考查絕對值不等式的性質以及分類討論思想,轉化思想,是一道常規題.



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