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辽宁辽阳市2019届高三数学上学期期末试题(理科附解析)

时间:2019-03-10 作者: 试题来源:网络

辽宁辽阳市2019届高三数学上学期期末试题(理科附解析)

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辽阳市2019届高三上学期期末考试数学(理)试题
一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)
1.    
A.      B.      C.      D.  
【答案】A
【解析】解: .
故选:A.
直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础题.

2.    设集合 , ,则 的元素个数为
A. 3    B. 4    C. 5    D. 6
【答案】C
【解析】解: 集合 ,
 ,
 6,7,8, ,
 中的元素个数为5.
故选:C.
先分别求出集合A和B,再求出 ,由此能求出结果.
本题考查交集的求法,考查交集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.

3.    双曲线 的焦距为
A.      B. 4    C.      D. 12
【答案】C
【解析】解:根据题意,双曲线 的标准方程为 ,
其中 ,
则 ,
其焦距 ;
故选:C.
根据题意,将双曲线的方程变形为标准方程,分析可得a、b的值,计算可得c的值,?#23665;?#36317;公式计算可得答案.
本题考查双曲线的标准方程,注意将双曲线的方程变形为标准方程.

4.    设x,y满足约束条件 ,目标函数 ,则
A. z的最大值为3    B. z的最大值为2    C. z的最小值为3    D. z的最小值为2
【答案】D
【解析】解:由 作出可行域如图,
 
联立 ,解得 ,
化目标函数 为 ,由图可知,当直线 过A时,
直线在y轴上的截距最小,z有最小值为 .
故选:D.
由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.
本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.

5.    已知函数 与 的部分图象如图所示,则
A.  ,
B.  ,
C.  ,
D.  ,


【答案】B
【解析】解:由图象可知, , ,
 , ,
又 ,
 ,
故选:B.
结合图象可知, , ,然后再由周期公式即可求解
本题主要考查了利用函数的图象求解函数解析式中的参数,属于基础试题.

6.     的内角A,B,C的?#21592;?#20998;别为a,b,c,已知 , , ,则
A.      B.      C.      D.  
【答案】D
【解析】解: , , ,
 ,
 .
故选:D.
由已知利用正弦定理可求 ,根据余弦定理可求 的值.
本题主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的综合应用,考查了转化思想,属于基础题.

7.    已知 为定义在 上的奇函数,当 时, ,则 的值域为
A.      B.  
C.      D.  
【答案】A
【解析】解:根据题意,当 时, ,则 ,
又由函数 为定义在 上的奇函数,则当 时,有 ,
则函数的值域为 ;
故选:A.
根据题意,由函数在 时的解析式,结合基本不等式的性质分析可得 ,结合函数的奇偶性分析可得答案.
本题考查函数的奇偶性的性质?#32422;?#24212;用、函数的值域计算,涉及基本不等式的应用,属于基础题.

8.    正三棱锥 的侧棱两两垂直,D,E分别为棱PA,BC的中点,则异面直线PC与DE所?#23665;?#30340;余弦值为
A.      B.      C.      D.  
【答案】D
【解析】解:如图,
 
设 ,以A为坐标原点,分别以AB,AC,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则 0, , 0, , 2, , 1, ,
 , ,
则 .
 异面直线PC与DE所?#23665;?#30340;余弦值为 .
故选:D.
设 ,以A为坐标原点,分别以AB,AC,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,求出 的坐标,由数量积求夹角公式可得异面直线PC与DE所?#23665;?#30340;余弦值.
本题考查异面直线及其所?#23665;牽?#35757;练了利用空间向量求解空间角,是基础题.

9.     展开式中 的系数为
A. 1    B.      C. 31    D.  
【答案】B
【解析】解: 展开中第 项为 ,其 的系数,常数项, 的系数分别为 , , ,
故 展开式中 的系数为 ,
故选:B.
利用通项公式可得: 展开中第 项为 ,其 的系数,常数项, 的系数分别为 , , ,进而得出答案.
本题考查了二项式定理的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

10.    设 , ,则
A.  且     B.  且
C.  且     D.  且
【答案】B
【解析】解: ;
 ;
又 ;
即 , ;
 , .
故选:B.
容易得出 , ,即得出 , ,从而得出 , .
考查对数函数的单调性,?#32422;?#22686;函数的定义.

11.    一批排球中正品有m个,次品有n个, ,从这批排球中每次随机取一个,有放回地抽取10次,X表示抽到的次品个数若 ,从这批排球中随机取两个,则?#36797;?#26377;一个正品的概率
A.      B.      C.      D.  
【答案】B
【解析】解:由题意知,随机变量 ,
则方差 ,
又 ,则 ,
 解得 ,
 所求的概率为 .
故选:B.
由题意知随机变量 ,根据方差DX求得n的值,再计算所求的概率值.
本题考查了离散型随机变量的方差计算问题,是基础题.

12.    已知函数 ,在 上的值域为 ,若 的最小值与最大值分别为 , ,则
A.      B.      C.      D.  
【答案】D
【解析】解:函数 ,当 时, ,
 ,令 ,可得 ,
当 时, 取得极小值为: 又 ,可得 的图象如图:
由 ,可得 ;
由 ,可得 故 ;
 .
则 .
故选:D.
利用分段函数,求出函数的导数,得到函数的极值,利用数形结合转化求解即可.
本题考查函数与方程的应用,考查转化思想?#32422;?#35745;算能力,数形结合的应用,考查计算能力.

二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.    已知向量 , 的夹角为 ,且 , ,则 ______.
【答案】
【解析】解?#27827;上?#37327;的数量积公式得:
 ,
故答案为:
?#19978;?#37327;的数量积公式: 运算即可.
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算,属简单题.

14.    若 ,则 ______.
【答案】7
【解析】解: ,
 ,
 .
故答案为:7.
由已知利用倍角公式求出 ,再由两角和的正切求解.
本题考查三角函数的化简求值,考查倍角公式及两角和的正切,是基础题.

15.    若椭圆C: 上存在一点P,使得 ,其中 , 分别是C的左、右焦点,则C的离心率的取值?#27573;?#20026;______.
【答案】
【解析】解?#21644;?#22278;C: 上存在一点P,使得 ,其中 , 分别是C的左、右焦点,
 ,
可得: ,
解得 .
所以椭圆的离心率为: .
故答案为: .
利用已知条件,通过椭圆的定义,列出不等式求解椭圆的离心率即可.
本题考查椭圆的简单性质的应用,是基本知识的考查.

16.    设 为一个圆柱上底面的中心,A为该圆柱下底面圆周上一点,这两个底面圆周上的每个点都在球O的表面上 若两个底面的面积之和为 , 与底面所?#23665;?#20026; ,则球O的表面积为________.
【答案】
【解析】解:如图,
 
设该圆柱底面半径为r,高为h,则 ,
 ,解得 , ,
则球O的半径 ,
故球O的表面积为 .
故答案为: .
由题意画出图形,设该圆柱底面半径为r,高为h,由圆柱的底面积求得圆柱底面半径,再由 与底面所?#23665;?#20026; 求得圆柱的高,进一步求出球的半径得答案.
本题考查球内接旋转体及其表面积,考查数形结合的解题思想方法,是基础题.

三、解答题(本大题共7小题)
17.    设 为等差数列 的前n项和, , .
 求 的通项公式;
 若 , , 成等比数列,求 .
【答案】解: 为等差数列 的前n项和, , .
 ,
解得 , ,
 .
 由 知, .
 , , 成等比数列, ,
即 ,解得 ,
 .
【解析】 由等差数列 的前n项和公式和通项公式,列出方程组,求出首项和公差,由此能求出 的通项公式.
 推导出 由 , , 成等比数列,得 ,从而求出 ,由此能求出 .
本题考查等差数列的通项公式、前n项和的求法及应用,考查等差数?#23567;?#31561;比数列的性质等基础知识,考查推理能力与计算能力,属于基础题.

18.    如图,在三棱锥 中, 平面ABC, ,且 .
 证明:平面 平面PAC;
 设棱AB,BC的中点分别为E,D,求平面PAC与平面PDE所成锐二面角的余弦值.




【答案】证明: 平面ABC, 平面ABC,
 ,
 , , 平面PAC,
 平面PBC, 平面 平面PAC.
解: 以C为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,
令 ,则 2, , 0, , 1, ,
则 1, , ,
设平面PDE的法向?#35838;?y, ,
则 ,取 ,得 0, ,
平面PAC的一个法向量 0, ,
则 .
 平面PAC与平面PDE所成锐二面角的余弦值为 .
【解析】 推导出 , ,从而 平面PAC,由此能证明平面 平面PAC.
 以C为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面PAC与平面PDE所成锐二面角的余弦值.
本题考查面面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关?#26723;?#22522;础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.

19.    在直角坐标系xOy中直线 与抛物线C: 交于A,B两点,且 .
 求C的方程;
 若D为直线 外一点,且 的外心M在C上,求M的坐标.
【答案】解: 设 , ,联立 ,可得 ,
则 , ,
从而 ,
 ,
 ,解得 ,
故C的方程为 ,
 设线段AB的中点 ,
由 可知 , ,
则线段AB的中垂线方程为 ,即 ,
联立 ,解得 或 ,
M的坐标为 或 .
【解析】 联立方程组,根据韦达定理和向量的数量积即可求出,
 先求出线段AB的中垂线方程为 ,再联立方程组,解得即可.
本题考查了直线和抛物线的位置关系,考查了转化能力和运算能力,属于中档题

20.    某工厂共?#24515;?#22899;员工500人,现从中抽取100位员工?#36816;?#20204;每月完成合格产品的件数统计如下:
每月完成合格产品的件数 单位:百件
                    
频数    10    45    35    6    4
男员工人数    7    23    18    1    1
 其中每月完成合格产品的件数不少于3200件的员工被评为“生产能手”由以上统计数据填写下面 列联表,并判断是否有 的把握认为“生产能手”与?#21592;?#26377;关?
    非“生产能手”    “生产能手”    合计
男员工            
女员工            
合计            
 为提高员工劳动的积极性,工厂实行累进计件工资制:规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内?#27169;?#35745;件单价为1元;超出 件的部分,累进计件单价为 元;超出 件的部分,累进计件单价为 元;超出400件以上的部分,累进计件单价为 元,将这4段中各段的频率视为相应的概率,在该厂男员工中随机选取1人,女员工中随机选取2人进行工资调查,没?#26723;?#35745;件工资 ?#26723;?#35745;件工资 定额计件工资 超定额计件工资 不少于3100元的人数为Z,求Z的分布列和数学期望.
附: ,
               
k              
【答案】解: 列联表:
    非“生产能手”    “生产能手”    合计
男员工    48    2    50
女员工    42    8    50
合计    90    10     100
 .
 有 的把握认为“生产能手”与?#21592;?#26377;关.
 当员工每月完成合格产品的件数为3000时,?#26723;?#35745;件工资为 元.
从已知可得男员工?#26723;?#35745;件工资不少于3100元的概率 ,女员工?#26723;?#35745;件工资不少于3100元的概率 .
在该厂男员工中随机选取1人,女员工中随机选取2人进行工资调查,?#26723;?#35745;件工资不少于3100元的人数为 ,1,2,3,
 , .
 ,
 .
 的分布列:
Z     0     1     2     3
 P      
 
 
 
 
【解析】 求得 即可判定有 的把握认为“生产能手”与?#21592;?#26377;关.
 可计算得当员工每月完成合格产品的件数为3000时,?#26723;?#35745;件工资为3100元 从已知可得男员工?#26723;?#35745;件工资不少于3100元的概率 ,女员工?#26723;?#35745;件工资不少于3100元的概率 可得 ,1,2,3,计算相应的概率即可.
本题考查了概率计算,随机变量的分布?#23567;?#26399;望值,独立性检验,属于中档题.

21.    已知函数 .
 当 时,求 的单调递增区间;
 证明:当 时, 有两个零点;
 若 ,函数 在 处取得最小值,证明: .
【答案】解: ,
当 时,由 ,解得: 或 ,
故 在 , 递增;
 证明:当 时, 在 递增,在 递减,
则 ,
 , ,且
 或 , , ,
故 有2个零点;
 证明: ,
 ,
设 ,
 ,
故 在 递增,
又 , ,
故 , ,
当 时, ,当 时, ,
故 且 ,
 ,
 , ,
故 .
【解析】 求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的递增区间即可;
 根据函数的单调性求出 的最小值,求出函数的零点即可;
 求出 的解析式,求出函数的导数,结合函数的单调性证明即可.
本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用?#32422;?#20998;类讨论思想,转化思想,是一道综合题.

22.    在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 为参数 ,曲线C的参数方程为 为参数 .
 求l和C的直角坐标方程;
 讨论l和C的位置关系.
【答案】解: 直线l的参数方程为 为参数 ,
 直线l的直角坐标方程为 .
 曲线C的参数方程为 为参数 ,
 曲线C的直角坐标方程为 .
 曲线C是以 为圆心,1为半径的圆,
圆心 到直线l的距离 ,
当 时, ,l和C相切;
当 时, ,l和C相交;
当 或 时, ,l和C相离.
【解析】 由直线l的参数方程能求出直线l的直角坐标方程;由曲线C的参数方程能求出曲线C的直角坐标方程.
 曲线C是以 为圆心,1为半径的圆,圆心 到直线l的距离 ,由此利用分类讨论思想能判断l和C的位置关系.
本题考查曲线的直角坐标方程的求法,考查直线与圆的位置关系的判断,考查直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.

23.    设函数 .
 当 时,求不等式 的解集;
 若 , ,求a的取值?#27573;В?br />【答案】解: 当 时, ,
故不等式 的解集为 .
 ,
 ,
则 ,解得 ,
故a的取值?#27573;?#20026; .
【解析】 求出a的值,求出 的分段函数的形式,求出不等式的解集即可;
 求出 的最小值,得?#28966;?#20110;a的不等式,解出即可.
本题考查了解绝对值不等式问题,考查绝对值不等式的性质?#32422;?#20998;类讨论思想,转化思想,是一道常规题.



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