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遼寧遼陽市2019屆高三數學上學期期末試題(文科含解析)

時間:2019-03-10 作者: 試題來源:網絡

遼寧遼陽市2019屆高三數學上學期期末試題(文科含解析)

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2018-2019學年遼寧省遼陽市高三(上)期末數學試卷(文科)
一、選擇題(本大題共12小題,共60.0分)
1.    設集合 , ,則 的元素個數為
A. 3    B. 4    C. 5    D. 6
【答案】B
【解析】解: 集合 , ,
 5,6, .
 的元素個數為4.
故選:B.
利用交集定義先求出 ,由此能求出結果.
本題考查交集的求法,考查交集定義、不等式性質等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.

2.    
A.      B.      C.      D.  
【答案】A
【解析】解: .
故選:A.
直接由復數代數形式的乘除運算化簡得答案.
本題考查復數代數形式的乘除運算,是基礎題.

3.    雙曲線 的焦距為
A.      B. 4    C.      D. 12
【答案】C
【解析】解:根據題意,雙曲線 的標準方程為 ,
其中 ,
則 ,
其焦距 ;
故選:C.
根據題意,將雙曲線的方程變形為標準方程,分析可得a、b的值,計算可得c的值,由焦距公式計算可得答案.
本題考查雙曲線的標準方程,注意將雙曲線的方程變形為標準方程.

4.    已知 為定義在R上的奇函數,當 時, ,則
A. 4    B.      C.      D.  
【答案】C
【解析】解:根據題意,當 時, ,
則 , ,
又由函數為奇函數,則 ,
則 ;
故選:C.
根據題意,由函數的解析式可得 與 的值,結合函數的奇偶性可得 的值,計算 的值即可得答案.
本題考查函數奇偶性的性質以及分段函數函數值的計算,屬于基礎題.

5.    設x,y滿足約束條件 ,目標函數 ,則
A. z的最大值為3    B. z的最大值為2    C. z的最小值為3    D. z的最小值為2
【答案】D
【解析】解:由 作出可行域如圖,
 
聯立 ,解得 ,
化目標函數 為 ,由圖可知,當直線 過A時,
直線在y軸上的截距最小,z有最小值為 .
故選:D.
由約束條件作出可行域,化目標函數為直線方程的斜截式,數形結合得到最優解,把最優解的坐標代入目標函數得答案.
本題考查簡單的線性規劃,考查數形結合的解題思想方法,是中檔題.

6.    已知函數 與 的部分圖象如圖所示,則
A.  ,
B.  ,
C.  ,
D.  ,


【答案】B
【解析】解:由圖象可知, , ,
 , ,
又 ,
 ,
故選:B.
結合圖象可知, , ,然后再由周期公式即可求解
本題主要考查了利用函數的圖象求解函數解析式中的參數,屬于基礎試題.

7.    函數 的最小值為
A.      B.      C.      D.  
【答案】A
【解析】解: ,
當 時, ;
當 時, .
故 ,
故選:A.
求出函數的導數,根據函數的單調性求出 的最小值即可.
本題考查了函數的單調性,最值問題,考查導數的應用以及轉化思想,是一道常規題.

8.    若l,n是兩條不相同的直線, , 是兩個不同的平面,則下列命題中為真命題的是
A. 若 , ,則     B. 若 , ,則
C. 若 , ,則     D. 若 , ,則
【答案】A
【解析】解:A,兩個平面平行,其中一個平面內的直線平行另一個平面,故A正確.
故選:A.
A,依兩面平行的性質可知正確;
B,C,D都缺少 的情況.
此題考查了線面平行,屬容易題.

9.    已知 ,且 ,函數 ,則“ ”是“ 在 上單調遞減”的
A. 充分不必要條件    B. 必要不充分條件
C. 充要條件    D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】解: ,且 , 函數 在 上單調遞減.
又函數 在 上單調遞減,則 ,且 ,解得 .
 “ ”是“ 在 上單調遞減”的充分不必要條件.
故選:A.
由 ,且 ,可得函數 在 上單調遞減 又函數 在 上單調遞減,可得 ,且 ,解得a范圍即可判斷出結論.
本題考查了復合函數的單調性、不等式的解法、簡易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

10.     的內角A,B,C的對邊分別為a,b, 已知 , ,且 ,則
A.      B.      C.      D.  
【答案】D
【解析】解: 中, , , 成等比數列,
 ,
 .
 ,
 ,
解得 或 ,
 ,
 ,
故選:D.
利用等比數列的定義求得 ,及余弦定理可得 ,解得即可
本題主要考查等比數列的定義,正弦定理余弦定理的應用,屬于基礎題.

11.    設 , ,則
A.  且     B.  且
C.  且     D.  且
【答案】B
【解析】解: ;
 ;
又 ;
即 , ;
 , .
故選:B.
容易得出 , ,即得出 , ,從而得出 , .
考查對數函數的單調性,以及增函數的定義.

12.    設 為一個圓柱上底面的中心,A為該圓柱下底面圓周上一點,這兩個底面圓周上的每個點都在球O的表面上,若兩個底面的面積之和為 , 與底面所成角為 ,則球O的表面積為
A.      B.      C.      D.  
【答案】B
【解析】解:如圖,
 
設該圓柱底面半徑為r,高為h,則 ,
 ,解得 , ,
則球O的半徑 ,
故球O的表面積為 .
故選:B.
由題意畫出圖形,設該圓柱底面半徑為r,高為h,由圓柱的底面積求得圓柱底面半徑,再由 與底面所成角為 求得圓柱的高,進一步求出球的半徑得答案.
本題考查球內接旋轉體及其表面積,考查數形結合的解題思想方法,是基礎題.

二、填空題(本大題共4小題,共20.0分)
13.    已知向量 , 的夾角為 ,且 , ,則 ______.
【答案】
【解析】解:由向量的數量積公式得:
 ,
故答案為:
由向量的數量積公式: 運算即可.
本題考查了平面向量數量積的性質及其運算,屬簡單題.

14.    現有兩對情侶都打算從巴黎、廈門、馬爾代夫、三亞、泰國這五個地方選取一個地方拍婚紗照,且這兩對情侶選擇的地方不同,則這兩對情侶都選在國外拍婚紗照的概率為______.
【答案】
【解析】解:現有兩對情侶都打算從巴黎、廈門、馬爾代夫、三亞、泰國這五個地方選取一個地方拍婚紗照,
且這兩對情侶選擇的地方不同,
則基本事件總數 ,
這兩對情侶都選在國外拍婚紗照包含的基本事件個數 ,
 這兩對情侶都選在國外拍婚紗照的概率為 .
故答案為: .
先求出基本事件總數 ,再求出這兩對情侶都選在國外拍婚紗照包含的基本事件個數 ,由此能求出這兩對情侶都選在國外拍婚紗照的概率.
本題考查概率的求法,考查古典概型、排列組合等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.

15.    若 為銳角,則當 取得最小值時, ______.
【答案】
【解析】解: 為銳角,
 ,
則當 ,
當且僅當 即 時取得最小值4,
 .
故答案為: .
由已知可得, ,利用基本不等式可求 的最小值及滿足條件的 ,然后由二倍角公式 可求.
本題主要考查了利用基本不等式求解最值及二倍角的正切公式的簡單應用,屬于基礎試題.

16.    若橢圓C: 上存在一點P,使得 ,其中 , 分別是C的左、右焦點,則C的離心率的取值范圍為______.
【答案】
【解析】解:橢圓C: 上存在一點P,使得 ,其中 , 分別是C的左、右焦點,
 ,
可得: ,
解得 .
所以橢圓的離心率為: .
故答案為: .
利用已知條件,通過橢圓的定義,列出不等式求解橢圓的離心率即可.
本題考查橢圓的簡單性質的應用,是基本知識的考查.

三、解答題(本大題共7小題,共70.0分)
17.    設 為等差數列 的前n項和, , .
 求 的通項公式;
 若 , , 成等比數列,求 .
【答案】解: 為等差數列 的前n項和, , .
 ,
解得 , ,
 .
 由 知, .
 , , 成等比數列, ,
即 ,解得 ,
 .
【解析】 由等差數列 的前n項和公式和通項公式,列出方程組,求出首項和公差,由此能求出 的通項公式.
 推導出 由 , , 成等比數列,得 ,從而求出 ,由此能求出 .
本題考查等差數列的通項公式、前n項和的求法及應用,考查等差數列、等比數列的性質等基礎知識,考查推理能力與計算能力,屬于基礎題.

18.    甲、乙兩人 這五年的年度體驗的血壓值的折線圖如圖所示.
 
 根據散點圖,直接判斷甲、乙這五年年度體檢的血壓值誰的波動更大,并求波動更大者的方差;
 根據乙這五年年度體檢血壓值的數據,求年度體檢血壓值y關于年份x的線性回歸方程,并據此估計乙在2018年年度體檢的血壓值.
 附: ,
【答案】解: 根據散點圖知,甲的血壓值波動更大些,
甲這五年年度體檢的血壓值的平均值為
 ,
其方差為
 ;
 計算 , ,
回歸系數為 ,
 ;
y關于x的線性回歸方程為 ;
當 時, ;
 估計乙在2018年年度體檢的血壓值為118.
【解析】 根據散點圖知甲的血壓值波動更大些,計算甲的平均值和方差;
 計算平均數和回歸系數,寫出回歸方程,利用回歸方程求出 時 的值即可.
本題考查了線性回歸方程的應用問題,是基礎題.

19.    如圖,在三棱錐 中, 平面ABC,且 , .
 證明: 為直角三角形;
 設A在平面PBC內的射影為D,求四面體ABCD的體積.







【答案】證明: , , ,
 .
 平面ABC, .
 , 平面PAB.
又 平面PAB, ,
故 為直角三角形.
解: 為線段PB的中點,證明如下:
 , .
又 平面PAB, .
 , 平面PBC.
取AB的中點H,則 平面ABC,
 , 的面積為2,
 四面體ABCD的體積為 .
【解析】 推導出 , ,從而 平面PAB,進而 ,由此能證明 為直角三角形.
 為線段PB的中點,取AB的中點H,則 平面ABC,由此能求出四面體ABCD的體積.
本題考查直角三角形的證明,考查四面體的體積的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關系,考查運算求解能力,考查數形結合思想,是中檔題.

20.    在直角坐標系xOy中直線 與拋物線C: 交于A,B兩點,且 .
 求C的方程;
 若D為直線 外一點,且 的外心M在C上,求M的坐標.
【答案】解: 設 , ,聯立 ,可得 ,
則 , ,
從而 ,
 ,
 ,解得 ,
故C的方程為 ,
 設線段AB的中點 ,
由 可知 , ,
則線段AB的中垂線方程為 ,即 ,
聯立 ,解得 或 ,
M的坐標為 或 .
【解析】 聯立方程組,根據韋達定理和向量的數量積即可求出,
 先求出線段AB的中垂線方程為 ,再聯立方程組,解得即可.
本題考查了直線和拋物線的位置關系,考查了轉化能力和運算能力,屬于中檔題

21.    已知函數 .
 求 的單調區間;
 若 ,證明: ;
 若 ,直線 與曲線 相切,證明: .
 參考數據: ,
【答案】解: ,
令 ,解得: ,則 在 遞增,
令 ,解得: ,則 在 遞減;
 證明: ,
故 ,則0是 的極小值點,
由 知 ,則 ,
設函數 ,則 ,
設函數 ,則 ,
易知 ,
則 恒成立,
令 ,得 ,令 ,得 ,
則 在 遞減,在 遞增,
則 ,
從而 ,即 ;
 證明:設切點為 ,
當 時, ,
則 ,
則 ,
即 ,
設函數 ,
 ,則 遞增,
又 , ,
取 ,
設 ,則 ,
若 ,則 , 遞增,
則 ,又 ,
故 .
【解析】 求出函數的導數,解關于導函數的不等式,求出函數的單調區間即可;
 求出 的最小值,求出a的值,設函數 ,得到 恒成立,根據函數的單調性證明即可;
 代入a的值,得到 ,設函數 ,根據函數的單調性證明即可.
本題考查了函數的單調性,最值問題,考查導數的應用以及轉化思想以及不等式的證明,是一道綜合題.

22.    在直角坐標系xOy中,直線l的參數方程為 為參數 ,曲線C的參數方程為 為參數 .
 求l和C的直角坐標方程;
 討論l和C的位置關系.
【答案】解: 直線l的參數方程為 為參數 ,
 直線l的直角坐標方程為 .
 曲線C的參數方程為 為參數 ,
 曲線C的直角坐標方程為 .
 曲線C是以 為圓心,1為半徑的圓,
圓心 到直線l的距離 ,
當 時, ,l和C相切;
當 時, ,l和C相交;
當 或 時, ,l和C相離.
【解析】 由直線l的參數方程能求出直線l的直角坐標方程;由曲線C的參數方程能求出曲線C的直角坐標方程.
 曲線C是以 為圓心,1為半徑的圓,圓心 到直線l的距離 ,由此利用分類討論思想能判斷l和C的位置關系.
本題考查曲線的直角坐標方程的求法,考查直線與圓的位置關系的判斷,考查直角坐標方程、參數方程的互化等基礎知識,考查運算求解能力,是中檔題.

23.    設函數 .
 當 時,求不等式 的解集;
 若 , ,求a的取值范圍.
【答案】解: 當 時, ,
故不等式 的解集為 .
 ,
 ,
則 ,解得 ,
故a的取值范圍為 .
【解析】 求出a的值,求出 的分段函數的形式,求出不等式的解集即可;
 求出 的最小值,得到關于a的不等式,解出即可.
本題考查了解絕對值不等式問題,考查絕對值不等式的性質以及分類討論思想,轉化思想,是一道常規題.



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